Sierpinski-Dreieck-Spirit

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Sierpinski Dreieck

DimensionsIteration. Das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Die fraktale Dimension der Sierpinski-Fläche Ein Sierpinski - Dreieck (nach Wacaw Sierpiñski) ist ein Fraktal, das durch fortgesetzte rekursive Aufteilung eines Vorgängerdreiecks n - 1 in vier weitere (zueinander kongruente) Dreiecke erhalten wird, die dem Ausgangsdreieck ähnlich im mathematischen Sinne sind. Geht n gegen unendlich, spricht man von einer Sierpinski-Fläche, wenn: D = log3 / log2 = 1,58..., also zwischen Gerade (D = 1) und Fläche (D = 2). 3D - Raumgestaltung Wenn man den Sierpinski - Teppich nun auf einen Würfel überträgt, dann bekommt man ein Gebilde, das einem Schwamm nicht unähnlich ist. In jedem Iterationsschritt wird der Würfel in 27 (3*3*3) Teilwürfel zerlegt und 7 dieser Teilwürfel werden entfernt. Das Volumen des Schwammes konvergiert dabei gegen 0, während die Oberfläche gegen unendlich strebt.

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Menger-Schwamm

Jede Fläche des Menger-Schwamms ist ein Sierpinski-Teppich; außerdem ergibt der Schnitt des Gebildes mit einer Diagonalen oder Mittellinie der Seitenfläche des Einheitswürfels M0 die Cantor-Menge.
Als Schnittmenge abgeschlossener Mengen handelt es sich beim Menger-Schwamm topologisch betrachtet um eine abgeschlossene Menge, und nach dem Überdeckungssatz von Heine-Borel ist diese auch kompakt.
Er ist außerdem überabzählbar und sein Lebesgue-Maß ist 0.

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